范德蒙行列式

范德蒙行列式的详细证明

定义

范德蒙行列式是由一组数 $x_1,x_2,\dots ,x_n$ 构成的特殊行列式：

$$V_n=\left|\begin{array}{ccccc}1& x_1& x_1^2& \cdots & x_1^{n-1}\\ 1& x_2& x_2^2& \cdots & x_2^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& x_n& x_n^2& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right|$$

其值为：

$$V_n=\prod _{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)$$

证明方法（数学归纳法）

基例验证

1. n=1:

   $$V_1=|1|=1=\prod _{\varnothing }(x_j-x_i)$$

   （空积约定为1）

2. n=2:

   $$V_2=\left|\begin{array}{cc}1& x_1\\ 1& x_2\end{array}\right|=x_2-x_1=\prod _{1\le i<j\le 2}(x_j-x_i)$$

3. n=3（可选验证）:
   展开计算得：

   $$V_3=(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)$$

归纳假设

假设对n=k成立：

$$V_k=\prod _{1\le i<j\le k}(x_j-x_i)$$

归纳步骤（n=k+1）

列变换法

1. 对 $V_{k+1}$ 进行列变换：

   • 从最后一列开始，第j列减去 $x_{k+1}$ 倍第(j-1)列（j=k+1,k,…,2）

2. 变换后行列式：

   $$V_{k+1}^{\prime }=\left|\begin{array}{cccc}1& x_1-x_{k+1}& \cdots & x_1^{k-1}(x_1-x_{k+1})\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& 0& \cdots & 0\end{array}\right|$$

3. 按最后一行展开：

   $$V_{k+1}^{\prime }=(-1{)}^{k+2}\cdot 1\cdot \left|\begin{array}{ccc}{x}_1-x_{k+1}& \cdots & x_1^{k-1}(x_1-x_{k+1})\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ x_k-x_{k+1}& \cdots & x_k^{k-1}(x_k-x_{k+1})\end{array}\right|$$

4. 提取公因子：

   $$V_{k+1}=\prod _{i=1}^k(x_i-x_{k+1})\cdot V_k$$

5. 代入归纳假设：

   $$V_{k+1}=\prod _{1\le i<j\le k+1}(x_j-x_i)$$

应用

1. 多项式插值

核心应用

在多项式插值问题中，范德蒙行列式用于保证插值多项式的唯一存在性。

给定n个点$(x_i,y_i)$，寻找次数不超过n-1的多项式$p(x)$满足：
$$p(x_i)=y_i,i=1,...,n$$

关键步骤

1. 设$p(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_{n-1}{x}^{n-1}$
2. 建立线性方程组： $$\{\begin{array}{l}{a}_0+a_1{x}_1+\cdots +a_{n-1}{x}_1^{n-1}=y_1\\ ⋮\\ a_0+a_1{x}_n+\cdots +a_{n-1}{x}_n^{n-1}=y_n\end{array}$$
3. 系数矩阵就是范德蒙矩阵： $$V=\left(\begin{array}{cccc}1& x_1& \cdots & x_1^{n-1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& x_n& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right)$$

重要性

当$x_i$互不相同时，$\det V\ne 0$，保证方程组有唯一解。

2. 控制理论

系统可控性分析

在线性时不变系统中：
$$\dot{x}=Ax+Bu$$

可控性矩阵：

$$\mathcal{C}=[BAB\cdots A^{n-1}B]$$

当系统矩阵$A$有互异特征值时，可通过范德蒙矩阵证明：
$$\text{rank}(\mathcal{C})=n$$

3. 数值分析

多项式最小二乘拟合

当采用多项式基函数$\{1,x,...,x^{n-1}\}$时：

• 法方程系数矩阵包含范德蒙结构
• 需要处理可能的病态问题（当$x_i$接近时行列式趋近0）

4. 组合数学

行列式计算技巧

利用范德蒙行列式可以计算特殊形式的行列式，例如：

$$\left|\begin{array}{ccc}1& {\lambda }_1& {\lambda }_1^2\\ 1& {\lambda }_2& {\lambda }_2^2\\ 1& {\lambda }_3& {\lambda }_3^2\end{array}\right|=({\lambda }_2-{\lambda }_1)({\lambda }_3-{\lambda }_1)({\lambda }_3-{\lambda }_2)$$

5. 统计学

实验设计

在正交实验设计中：

• 范德蒙结构出现在某些设计矩阵中
• 用于分析因素间的交互作用

6. 信号处理

频谱分析

在Prony方法中：

• 用于估计信号的频率成分
• 涉及范德蒙矩阵的求逆运算