向量的外积和向量的叉积

向量叉积（也称为向量积或外积）的定义起源于对三维空间中几何问题的研究，特别是与四元数的代数体系密切相关。

---

历史发展概述 📜

向量叉积的定义和表示符号的引入经历了以下关键阶段：

• 1773年：约瑟夫·路易·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）
  • 为了研究三维空间中的四面体，拉格朗日引入了类似于向量点积和叉积的分量形式。
• 1843年：威廉·罗文·哈密顿（William Rowan Hamilton）
  • 哈密顿发明了四元数 ($\mathbb{H}$)，这是一种数的扩展，包含一个标量部分和三个虚数单位 $i,j,k$，它们之间的乘法遵循非交换律。
  • 他将两个纯向量四元数 $[0,\mathbf{u}]$ 和 $[0,\mathbf{v}]$ 相乘时，其结果为一个四元数，可以分解为标量部分和向量部分： $$\mathbf{uv}=(-\mathbf{u}\cdot \mathbf{v})+(\mathbf{u}\times \mathbf{v})$$
  • 这里的标量部分就是点积（带负号），而向量部分就是叉积。四元数的乘法实际上是点积和叉积的前身。
• 19世纪末：乔赛亚·威拉德·吉布斯（Josiah Willard Gibbs）和奥利弗·赫维赛德（Oliver Heaviside）
  • 他们认为四元数方法对于物理学应用（如麦克斯韦方程组）过于繁琐。
  • 为了简化，吉布斯和赫维赛德将四元数乘法分解成了独立的两种运算：点积（标量结果）和叉积（向量结果）。
  • 吉布斯在其1881年私人出版的笔记《向量分析的元素》中首次引入了交叉符号 ($\times$) 和“叉积”（Cross Product）这个名称。
  • 这种方法后来通过吉布斯的学生埃德温·B·威尔逊（Edwin B. Wilson）编写的教材《向量分析》得以广泛传播和接受，成为现代向量分析的基础。

几何意义与定义 📐

叉积的定义之所以是现在这个形式，是因其在几何和物理中的应用：

• 方向： 叉积 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ 的结果是一个向量，它垂直于由 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 所张成的平面。方向由右手定则确定。
• 大小： 叉积的大小 $|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|$ 等于由向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 为邻边所构成的平行四边形的面积。

叉积的代数表达式（行列式形式）和这些几何特性是完全一致的，最初的设计就是为了得到一个垂直于输入向量且其大小代表面积的向量。

你可以观看这个关于叉积的定义和推导的视频，以获得更直观的理解：The Cross Product: Definition and Derivation。这个视频深入探讨了向量叉积的定义和推导，其中提到了它的历史起源，包括对四元数的简化。