反对称矩阵（Skew-Symmetric Matrix）

定义

一个 $n\times n$ 的实矩阵 $A$ 如果满足：

$$A^T=-A$$

即 $a_{ij}=-a_{ji}$，则称 $A$ 为反对称矩阵（也称为斜对称矩阵）。

关键性质

1. 对角线元素为零：
   • 由于 $a_{ii}=-a_{ii}$，所以 $a_{ii}=0$（即主对角线上的元素必须全为 0）。
2. 非对角线元素对称取负：
   • 若 $i\ne j$，则 $a_{ij}=-a_{ji}$。
3. 行列式：
   • 对于奇数阶反对称矩阵（$n$ 为奇数），行列式 $\det (A)=0$（因为 $\det (A)=\det (-A^T)=(-1{)}^n\det (A)$，当 $n$ 为奇数时，$\det (A)=-\det (A)$，故 $\det (A)=0$）。
   • 对于偶数阶反对称矩阵，行列式可能非零（例如 $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$ 的行列式为 1）。
4. 特征值：
   • 实反对称矩阵的特征值都是纯虚数或零（即形式为 $\lambda =i\alpha$，其中 $\alpha \in \mathbb{R}$）。
5. 正交对角化：
   • 实反对称矩阵可以通过正交变换对角化为纯虚数对角矩阵（即 $A=Q\Lambda Q^T$，其中 $Q$ 是正交矩阵，$\Lambda$ 是纯虚数对角矩阵）。
6. 指数映射：
   • 反对称矩阵的指数 $e^A$ 是一个正交矩阵（即 $(e^A{)}^T{e}^A=I$），这在旋转矩阵的表示中有重要应用（如三维旋转的 Rodrigues 公式）。

例子

1. 2×2 反对称矩阵： $$A=\left(\begin{array}{cc}0& a\\ -a& 0\end{array}\right)$$
2. 3×3 反对称矩阵（常用于表示叉积）： $$A=\left(\begin{array}{ccc}0& -c& b\\ c& 0& -a\\ -b& a& 0\end{array}\right)$$ 它可以表示向量 $\mathbf{v}=(a,b,c)$ 的叉积运算： $$A\mathbf{x}=\mathbf{v}\times \mathbf{x}$$

应用

• 刚体旋转：反对称矩阵用于表示三维旋转（如角速度矩阵）。
• 李代数：反对称矩阵构成特殊正交群 $SO(n)$ 的李代数 $\mathfrak{so}(n)$。
• 电磁学：Maxwell 方程中的磁场张量是反对称的。

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