欧拉方法中的误差分析

基本概念

局部截断误差

定义：假设在第 $n$ 步，数值解完全精确地等于理论解，即 $y_{n} = y (t_{n})$ 。那么，使用数值方法公式计算出的下一步值 $y_{n + 1}$ 与理论解在 $t_{n + 1}$ 处的值 $y (t_{n + 1})$ 之间的差。

数学表达式：

τ_{n + 1} (h) = y (t_{n + 1}) - \tilde{y}_{n + 1}

其中 $\tilde{y}_{n + 1} = y (t_{n}) + h Φ (t_{n}, y (t_{n}), h)$ ， $Φ$ 是方法的增量函数。

特点：

只考查单步计算引入的新误差
不考虑前面步骤累积的旧误差
是方法的固有精度的度量

全局截断误差

定义：在给定的点 $t_{n} = t_{0} + nh$ 处，数值解 $y_{n}$ 与理论解 $y (t_{n})$ 之间的实际差。

数学表达式：

e_{n} = y (t_{n}) - y_{n}

特点：

考虑了从初始点到当前点所有步骤中累积的误差总和
是最终关心的数值解与真实解的实际偏差

关键关系：全局误差是所有先前局部误差传播和累积的结果。局部误差是”源”，全局误差是”果”。

前向欧拉法的误差分析

问题描述

考虑初值问题：

{y^{'} = f (t, y) y (t_{0}) = y_{0}

1. 局部截断误差分析

假设： $y_{n} = y (t_{n})$ 精确成立

前向欧拉公式：

y_{n + 1} = y_{n} + h f (t_{n}, y_{n})

在精确解 $y (t)$ 处应用该公式：

\tilde{y}_{n + 1} = y (t_{n}) + h f (t_{n}, y (t_{n})) = y (t_{n}) + h y^{'} (t_{n})

泰勒展开精确解：

y (t_{n + 1}) = y (t_{n} + h) = y (t_{n}) + h y^{'} (t_{n}) + \frac{h ^{2}}{2} y^{''} (ξ_{n}), ξ_{n} \in [t_{n}, t_{n + 1}]

局部截断误差：

τ_{n + 1} (h) = y (t_{n + 1}) - \tilde{y}_{n + 1} = \frac{h ^{2}}{2} y^{''} (ξ_{n})

误差界：
设 $M_{2} = max_{t \in [a, b]} ∣ y^{''} (t) ∣$ ，则

∣ τ_{n + 1} (h) ∣ \leq \frac{h ^{2}}{2} M_{2} = O (h^{2})

结论：前向欧拉法的局部截断误差是 $O (h^{2})$

2. 全局截断误差分析

全局误差定义： $e_{n} = y (t_{n}) - y_{n}$

建立误差递推关系

精确解的泰勒展开：

y (t_{n + 1}) = y (t_{n}) + h f (t_{n}, y (t_{n})) + \frac{h ^{2}}{2} y^{''} (ξ_{n})

数值递推公式：

y_{n + 1} = y_{n} + h f (t_{n}, y_{n})

两式相减：

e_{n + 1} = e_{n} + h [f (t_{n}, y (t_{n})) - f (t_{n}, y_{n})] + \frac{h ^{2}}{2} y^{''} (ξ_{n})

利用 Lipschitz 条件

假设 $f$ 关于 $y$ 满足 Lipschitz 条件：

∣ f (t, y_{1}) - f (t, y_{2}) ∣ \leq L ∣ y_{1} - y_{2} ∣

代入得：

∣ e_{n + 1} ∣ \leq ∣ e_{n} ∣ + h L ∣ e_{n} ∣ + \frac{h ^{2}}{2} ∣ y^{''} (ξ_{n}) ∣

设 $M_{2}$ 是 $∣ y^{''} (t) ∣$ 的上界， $C = M_{2} /2$ ：

∣ e_{n + 1} ∣ \leq (1 + h L) ∣ e_{n} ∣ + C h^{2}

求解误差不等式

初始条件： $e_{0} = 0$

递推求解：

∣ e_{1} ∣ ∣ e_{2} ∣ ∣ e_{n} ∣ \leq (1 + h L) ∣ e_{0} ∣ + C h^{2} = C h^{2} \leq (1 + h L) ∣ e_{1} ∣ + C h^{2} \leq (1 + h L) C h^{2} + C h^{2} ⋮ \leq C h^{2} k = 0 \sum n - 1 (1 + h L)^{k}

几何级数求和：

∣ e_{n} ∣ \leq C h^{2} \frac{( 1 + h L ) ^{n} - 1}{h L} = \frac{C}{L} h [(1 + h L)^{n} - 1]

确定误差阶

由 $t_{n} = t_{0} + nh$ ，得 $n = (t_{n} - t_{0}) / h$

利用不等式 $1 + x \leq e^{x}$ （当 $x \geq 0$ ）：

(1 + h L)^{n} \leq e^{nh L} = e^{L (t_{n} - t_{0})}

令 $K = \frac{C}{L} (e^{L (t_{n} - t_{0})} - 1)$ ：

∣ e_{n} ∣ \leq K h

结论：前向欧拉法的全局截断误差是 $O (h)$

重要结论

1. 方法的阶

阶的定义：由全局截断误差的阶定义
前向欧拉：全局误差 $O (h)$ → 一阶方法
一般规律：对于收敛的单步法，局部误差通常比全局误差高一阶

2. 误差来源对比

误差类型	来源	特点
局部误差	用有限差商代替导数，用多项式近似解	方法的”近似误差”， $O (h^{2})$
全局误差	局部误差的传播和累积	受方程动力学（Lipschitz常数 $L$ ）放大， $O (h)$

3. 其他欧拉类方法对比

方法	类型	局部误差	全局误差	阶数	稳定性特点
前向欧拉	显式	$O (h^{2})$	$O (h)$	一阶	条件稳定
后向欧拉	隐式	$O (h^{2})$	$O (h)$	一阶	绝对稳定，适合刚性方程
梯形公式	隐式	$O (h^{3})$	$O (h^{2})$	二阶	稳定性好，精度高

图示理解

过程描述：

从精确的初始值 $y_{0}$ 出发
第一步：从 $(t_{0}, y_{0})$ 计算到 $t_{1}$ ，得到 $y_{1}$ 偏离 $y (t_{1})$
- 这个偏差是第一步的局部误差体现
- 也成为此时的全局误差
第二步：从错误的起点 $(t_{1}, y_{1})$ 出发
- 即使新产生的局部误差很小
- 但由于起点错误， $y_{2}$ 进一步偏离 $y (t_{2})$
误差不断累积传播，最终形成全局误差

学习要点

通过欧拉法的误差分析，掌握分析所有单步法收敛性的基本框架：

局部精度分析：通过泰勒展开分析单步近似精度
误差传播分析：在 Lipschitz 条件下分析误差的累积效应

这一框架可推广到更高级的数值方法（如龙格-库塔法、多步法等）的收敛性分析中。

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Thinking Notes

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