弹簧阻尼

微分方程

根据牛顿第二定律：
$$k\ast (g-x)-dv=ma$$。

其中$k$ 为弹簧劲度系数，$d$ 为阻尼系数。
上述$v$ 为带符号值。朝向目$g$ 的方向为正，否则为负。
$g-x$ 为相对位移。可以让$g$为0，$x$为相对位移。则可以简化成
$$-kx-dv=ma$$

无阻尼弹簧

上式子中$d=0$。式子变为
$$-kx=ma$$ $$a+\frac{k}{m}x=0$$ 求解微分方程。令$x(t)=e^{\lambda t}$，则$v=x^{\prime }(t)=\lambda \ast e^{\lambda t},a=x^{\prime \prime }(t)={\lambda }^2\ast e^{\lambda t}$。代入上式中：
$${\lambda }^2+\frac{k}{m}=0$$ $\lambda =\pm \sqrt{-\frac{k}{m}}=\pm \sqrt{\frac{k}{m}}\ast i$

令$w=\sqrt{\frac{k}{m}}$，微分方程有两个线性无关解：

$$x_1(t)=e^{wti}=cos(wt)+isin(wt)$$ $$x_2(t)=e^{-wti}=cos(wt)-isin(wt)$$

则方程通解：
$$x(t)=C_1{x}_1(t)+C_2{x}_2(t)$$ 其中$C_1,C_2$ 由初始条件确定。将上式展开：
$$x(t)=C_1\ast (cos(wt)+isin(wt))+C_2\ast (cos(wt)-isin(wt))$$ $$x(t)=(C_1+C_2)cos(wt)+i\ast (C_1-C_2)sin(wt)$$ 转换成实数，令$A=C_1+C_2,B=i\ast (C_1-C_2)$，则：
$$x(t)=Acos(wt)+Bsin(wt)$$ 初始条件：$t=0时，有x_0,v_0$
则$A=x_0$，由$x^{\prime }(t)=-A\ast w\ast sin(wt)+B\ast w\ast cos(wt)$，得$B=\frac{v_0}{w}$.
整理：
$$x(t)=x_0\ast cos(wt)+\frac{v_0}{w}\ast sin(wt)$$

阻尼弹簧

对于$d>0$ 的情况。式子变为：
$$a+\frac{d}{m}\ast v+\frac{k}{m}\ast x=0$$ 特征方程为：
$${\lambda }^2+\frac{d}{m}\ast \lambda +\frac{k}{m}=0$$ 令：$w=\sqrt{\frac{k}{m}},\zeta =\frac{d}{2\sqrt{mk}},\zeta 称为阻尼比$。
上面式子变为：
$${\lambda }^2+2\ast \zeta \ast w\ast \lambda +w^2=0$$ 考虑$\Delta =4\ast w^2\ast (\zeta -1)$

1. 如果$\Delta =0,即\zeta =1,即d=2\sqrt{mk}$。称为临界阻尼。
2. 如果$\Delta <0,即\zeta <1,即d<2\sqrt{mk}$。称为欠阻尼。
3. 如果$\Delta >0,即\zeta >1,即d>2\sqrt{mk}$。称为过阻尼。

临界阻尼

表现上，刚好停止在平衡点。

对于二阶齐次线性微分方程，如果特征值相同的话，比如下面方程
$$y^{\prime \prime }+a\ast y^{\prime }+b=0$$ $${\lambda }^2+a\ast \lambda +b=0$$ 特征解为：$\lambda =-\frac{a}{2}$。
那么其中一个解是$y_1=e^{\lambda t}$。
使用常数变易法，令$y_2=g(t)\ast e^{\lambda t}$，则$y_2^{\prime }=g^{\prime }\ast e^{\lambda t}+g\ast \lambda \ast e^{\lambda t}$，$y_2^{\prime \prime }=g^{\prime \prime }\ast e^{\lambda t}+g^{\prime }\ast \lambda \ast e^{\lambda t}+g^{\prime }\ast \lambda \ast e^{\lambda t}+g\ast {\lambda }^2\ast e^{\lambda t}$

代入得：$g^{\prime \prime }=0$
积分两次：$g^{\prime }=C_1$,$g=C_{1}t+C_2$。所以$y_2=(C_{1}t+C_2)\ast e^{\lambda t}$。
因为$C_2\ast e^{\lambda t}$和$y_1$ 线性相关了，所以取$C_1=1,C_2=0$,得出$y_2=t\ast e^{\lambda t}$。
最终的通解为

$$y=(C_1+C_{2}t)e^{\lambda t}$$ $$y^{\prime }=C_2{e}^{\lambda t}+(C_1+C_{2}t)\lambda e^{\lambda t}=(C_2+(C_1+C_{2}t)\lambda )e^{\lambda t}$$

对于上面阻尼弹簧：${\lambda }^2+2\ast \zeta \ast w\ast \lambda +w^2=0,\zeta =1$

$$\lambda =-\zeta w=-w$$

对于弹簧情况：$x(t)=(C_1+C_{2}t)e^{\lambda t}$. $t=0,时刻有x_0,v_0$

$$C_1=x_0$$ $$C_2=v_0+w{x}_0$$

欠阻尼

表现上，阻尼不够，来回衰减震荡。
对于${\lambda }^2+2\zeta w\lambda +w^2=0,阻尼比\zeta =\frac{d}{2\sqrt{mk}}<1$。$\Delta =d^2-4mk=4w^2({\zeta }^2-1)<0$。
特征方程有两个复根：

$${\lambda }_1=\frac{-2\zeta w+i\sqrt{\Delta }}{2}=-\zeta w+iw\sqrt{1-{\zeta }^2}$$ $${\lambda }_2=\frac{-2\zeta w-i\sqrt{\Delta }}{2}=-\zeta w-iw\sqrt{1-{\zeta }^2}$$