勒让德变换的对偶性

前提假设

设 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是凸、可微、严格凸的函数（为简化推导，暂不考虑次梯度），且增长足够快（如超线性），使得上确界可达且唯一。

定义勒让德变换（凸共轭）：

$$f^{\ast }(p)=\underset{x\in \mathbb{R}}{\max }(px-f(x))$$

最大值点 $x(p)$ 满足一阶条件：

$$p-f^{\prime }(x(p))=0\Rightarrow p=f^{\prime }(x(p))$$

因 $f$ 严格凸，$f^{\prime }$ 严格增，故 $x(p)=(f^{\prime }{)}^{-1}(p)$ 是良定义的。

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第一步：写出 $f^{\ast }(p)$ 的显式并求导

由 $p=f^{\prime }(x)$ 及 $x=x(p)$ 得：

$$f^{\ast }(p)=p\cdot x(p)-f(x(p))$$

对 $p$ 求导：

$$(f^{\ast }{)}^{\prime }(p)=x(p)+p\cdot x^{\prime }(p)-f^{\prime }(x(p))\cdot x^{\prime }(p)$$

代入 $f^{\prime }(x(p))=p$：

$$(f^{\ast }{)}^{\prime }(p)=x(p)+p{x}^{\prime }(p)-p{x}^{\prime }(p)=x(p)$$

因此得到关键关系：

$$\boxed{(f^{\ast }{)}^{\prime }(p)=x(p)}$$

这与原关系 $f^{\prime }(x)=p$ 形成对偶：

• $f^{\prime }(x)=p$
• $(f^{\ast }{)}^{\prime }(p)=x$

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第二步：对 $f^{\ast }$ 再作勒让德变换

定义：

$$f^{\ast \ast }(x)=\underset{p\in \mathbb{R}}{\sup }(xp-f^{\ast }(p))$$

对固定的 $x$，考察函数 $\varphi (p)=xp-f^{\ast }(p)$。

求导：

$${\varphi }^{\prime }(p)=x-(f^{\ast }{)}^{\prime }(p)=x-x(p)$$

令 ${\varphi }^{\prime }(p)=0$ 得：

$$x(p)=x$$

由 $x(p)=(f^{\prime }{)}^{-1}(p)$ 知 $p=f^{\prime }(x)$。

此时计算函数值：

$$\begin{array}{rl}xp-f^{\ast }(p)& =x\cdot f^{\prime }(x)-[f^{\prime }(x)\cdot x-f(x)]\\ & =x{f}^{\prime }(x)-x{f}^{\prime }(x)+f(x)\\ & =f(x)\end{array}$$

其中第二步使用了 $f^{\ast }(p)=px(p)-f(x(p))$ 且 $x(p)=x$。

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第三步：验证最大值

由于 $f^{\ast }$ 是凸函数（勒让德变换保持凸性），而 $xp-f^{\ast }(p)$ 是 $p$ 的凹函数（因为 $-f^{\ast }(p)$ 凹），故导数为零的点是全局最大值点。

因此：

$$\underset{p\in \mathbb{R}}{\sup }(xp-f^{\ast }(p))=f(x)$$

即：

$$\boxed{f^{\ast \ast }(x)=f(x)}$$

这表明勒让德变换是对合变换（involution）：两次变换回到原函数。

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几何与直观解释

原变换	对偶变换
$f(x)\stackrel{\text{Legendre}}{\to }{f}^{\ast }(p)$	$f^{\ast }(p)\stackrel{\text{Legendre}}{\to }f(x)$
用斜率 $p$ 作为新变量	用原来的 $x$ 作为新变量
$p=f^{\prime }(x)$	$x=(f^{\ast }{)}^{\prime }(p)$
$f^{\ast }(p)=px-f(x)$	$f(x)=xp-f^{\ast }(p)$

两者完全对称，仅交换 $(x,f)$ 与 $(p,f^{\ast })$ 的角色。

在最优点处满足：

$$f(x)+f^{\ast }(p)=xp$$

这正是“不同角度定义同一个问题”的精确数学表达：
原函数用 $x$ 描述，对偶函数用斜率 $p$ 描述，二者通过切线关系等价。

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示例验证：$f(x)=\frac{1}{2}{x}^2$

• $f^{\prime }(x)=x$，令 $p=x$
• $f^{\ast }(p)=p\cdot p-\frac{1}{2}{p}^2=\frac{1}{2}{p}^2$
• 再变换：$(f^{\ast }{)}^{\prime }(p)=p=x$
• $f^{\ast \ast }(x)=x\cdot x-\frac{1}{2}{x}^2=\frac{1}{2}{x}^2=f(x)$

该函数是自对偶的。

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结论

勒让德变换的对偶性来自两个互为反函数的映射：

$$p=f^{\prime }(x)⟷x=(f^{\ast }{)}^{\prime }(p)$$

并且在最优点处满足：

$$f(x)+f^{\ast }(p)=xp$$

这完美诠释了“从不同角度定义同一个问题”的思想：
原函数与它的勒让德变换是同一几何对象（凸函数的图像）在点坐标与切线坐标下的两种等价描述。