矩阵 A 的迹（trace）等于其特征值的和

定义

• 迹（Trace）：矩阵 $A$ 的迹是其对角线元素之和，记作 $\text{tr}(A)={\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}$。
• 特征值：设 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ 是 $A$ 的特征值，即满足 $\det (A-\lambda I)=0$。

证明方法

从特征多项式的角度出发：

(1) 特征多项式

矩阵 $A$ 的特征多项式为：

$$p(\lambda )=\det (A-\lambda I)$$

展开后：

$$p(\lambda )=(-1{)}^n{\lambda }^n+c_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +c_1\lambda +c_0$$

其中：

• $c_{n-1}=(-1{)}^{n-1}\text{tr}(A)$（即 ${\lambda }^{n-1}$ 的系数）。
• $c_0=\det (A)$。

(2) 根与系数关系

由于 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ 是 $p(\lambda )=0$ 的根，根据 Vieta 定理：

$$p(\lambda )=(-1{)}^n(\lambda -{\lambda }_1)(\lambda -{\lambda }_2)\cdots (\lambda -{\lambda }_n)$$

${\lambda }^{n-1}$ 的系数为：

$$(-1{)}^{n-1}({\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n)$$

(3) 比较系数

对比两种展开形式：

$$(-1{)}^{n-1}\text{tr}(A)=(-1{)}^{n-1}({\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n)$$

两边约去 $(-1{)}^{n-1}$，得：

$$\text{tr}(A)={\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n$$

结论

矩阵 $A$ 的迹等于其特征值的和：

$$\boxed{\text{tr}(A)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i}$$

补充说明

• 这个结论对任何方阵 $A$ 都成立，无论它是否可对角化。
• 如果 $A$ 可对角化（$A=P\Lambda P^{-1}$），则： $$\text{tr}(A)=\text{tr}(P\Lambda P^{-1})=\text{tr}(\Lambda P^{-1}P)=\text{tr}(\Lambda )=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i$$ （因为迹在相似变换下不变：$\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$）。