凸包性质

边与内部点等于各点的权重和为1的线性组合

$P={\lambda }_0{P}_0+{\lambda }_1{P}_1+{\lambda }_2{P}_2$ , 其中 ${\lambda }_0+{\lambda }_1+{\lambda }_2=1;{\lambda }_0\ge 0,{\lambda }_1\ge 0,{\lambda }_2\ge 0$。

线段

考虑一维的凸包。由$P_0,P_1$组成的线段。则线段内的点表示为

$$P=P_0+t(P_1-P_0),t\in [0,1]$$

即：

$$P=(1-t)P_0+t{P}_1,t\in [0,1]$$

顶点权重和为1。

三角面

如下图：

点在边上，比如$P_t=(1-t)P_1+t{P}_2$

显然$P_t=0P_1+(1-t)P_1+t{P}_2$，权重和为1。
同理在其他边上也是如此。

三角面内的任意一个点

比如下图的$P_i$

可以过点$P_i$ 做平行于线段$P_2{P}_1$的线段分别与三角形两边相交于$P_{11},P_{22}$。如下图：

设$Pi=(1-t)P_{11}+t{P}_{22},t\in [0,1]$。
设$P_{11}=(1-\lambda )P_0+\lambda P_1$。
由平行关系知道：
$P_{22}=(1-\lambda )P_0+\lambda P_2$
将$P_{11},P_{22}$ 代入可以得到

$$P_i=(1-t)((1-\lambda )P_0+\lambda P_1)+t((1-\lambda )P_0+\lambda P_2)\text{\hspace{1em}(1)}$$ $$P_i=(1-\lambda )P_0+(1-t)\lambda P_1+t\lambda P_2\text{\hspace{1em}(2)}$$

由$(2)$得知权重和=$1-\lambda +(1-t)\lambda +t\lambda =1$，并且各权重$\ge 0$。

多边形

多边形可以看作三角面的扩展，任意一点都可以找到一个内部三角形，根据上面由这三角形的三点得到，其他顶点权重为0。

四面体

四面体的每个面都是三角面。如下图：

所以对于面上点满足上面条件。
对于内部的点，可以参考三角面，做平行于$△P_1{P}_2{P}_3$的平面，分别相交$P_{11},P_{22},P_{33}$


在$△P_{11}{P}_{22}{P}_{33}$ 中，可知$Pi=u{P}_{11}+v{P}_{22}+w{P}_{33}$，$u+v+w=1;v\ge 0;v\ge 0;w\ge 0$。
设$P_{11}=(1-\lambda )P_0+\lambda P_1$。
则$P_{22}=(1-\lambda )P_0+\lambda P_2$；
$P_{33}=(1-\lambda )P_0+\lambda P_3$。
代入可得：

$$P_i=u{P}_{11}+v{P}_{22}+w{P}_{33}$$ $$P_i=(1-\lambda )P_0+u\lambda P_1+v\lambda P_2++w\lambda P_2$$

则得到结论。

多面体

对于内点，找到包含的四面体即可，同理可证。